Поведение функции в окрестности существенно особой точки

По теореме 9.2, точка z = a является устранимой особой точкой функции (z).

Представим её рядом Лорана: (z) = c_n(z − a)ⁿ . Пусть первые k коэффициентов равны нулю, где k ≥ 0. Тогда

(z) = (z − a)^k · φ(z), k ≥ 0

(z) = (z − a)^k · φ(z), k ≥ 0,

где φ(z) аналитична в окрестности z = a и в самой a, причём φ(a) ≠ 0. В силу этих свойств функции φ(z), функция

ψ(z) = аналитична в некоторой (быть может, другой) окрестности точки z = a, причём ψ(a) ≠ 0. Выразим f(z) из (9.1) и используем определение функции ψ(z) = :

f(z) = A+ · ψ(z), k ≥ 0.

Но такой вид функции f(z) означает, в силу утверждений 9.1 и 9.2, что точка z = a является:

либо (при k > 0) полюсом порядка k,

либо (при k = 0) устранимой особой точкой функции f(z), что противоречит условию теоремы.