Изолированные особые точки и их классификация. Примеры

Определение 9.2

Изолированная особая точка z = a функции f(z) называется

• устранимой особой точкой (УОТ) функции f(z), если её ряд Лорана в кольце {z: 0 < |z − a| < R} не содержит слагаемых с отрицательными номерами:

f(z) = c_n(z − a)ⁿ.

(Другими словами, если ряд Лорана совпадает с рядом Тейлора в круге {z: |z − a| < R}.)

• плюсом порядка k (ППk) функции f(z), если её ряд Лорана в кольце {z: 0 < |z − a| < R} содержит слагаемое с отрицательным номером (−k) и не содержит слагаемых с номерами, меньшими (−k):

$$ f(z) = \sum_{n = -k}^{\infty} c_n (z - a)^n, \: c_{-k} \neq 0. $$

• существенно особой точкой (СОТ) функции f(z), если её ряд Лорана в кольце {z: 0 < |z − a| < R} содержит бесконечное число слагаемых с отрицательными номерами:

f(z) = c_n(z − a)ⁿ

и ∀ N ∈ ∃ n < −N: c_n ≠ 0.