Вычеты

Доказательство

Вырежем каждую из особых точек a_n замкнутым контуром γ_n так, чтобы он не пересекал ни Г⁺, ни другие контура γ_k. Рассмотрим многосвязную область D*, ограниченную контурами Г⁺ и γ_n, n = 1, 2, ... , N . Внутри указанной области функция f(z) не имеет особых точек, то есть она везде аналитична, в том числе и на границе ∂D* этой области.

Поэтому, по Интегральной Теореме Коши, интеграл от f(z) по ∂D*, проходимой в положительном направлении, равен нулю. f(z)dz = 0. А из чего состоит граница ∂D*? Из контура Г+ и объединения контуров γn−, проходимых по часовой стрелке. f(z)dz + f(z)dz = 0.

Перенеся теперь сумму интегралов по γ_n⁻ в правую часть и поменяв направление обхода на положительное, получим

f(z)dz = f(z)dz.

(10.5)

А так как f(z)dz = 2πi Res f(a_n), то утверждение теоремы доказано.