Вычеты

Вычет в полюсе порядка k

Пусть точка a является полюсом порядка k функции f(z). Это значит, что её ряд Лорана в окрестности данной точки имеет вид:

f(z) = + c₀ + c₁(z − a) + ... .

Умножив обе части на (z − a)^k, получим:

(z − a)^kf(z) = c_−k + c_−k+1(z − a) + ... + c₋₂(z − a)^k−2 + c₋₁(z − a)^k−1 + ... .

Возьмём от обеих частей производную порядка (k − 1), чтобы обнулить все слагаемые от c_−k до c₋₂(z − a)^k−2 и перейдём в полученном равенстве к пределу при z → a, чтобы обнулились все слагаемые, начиная с c₀. Получим:

Как легко заметить, формула (10.1) является частным случаем (10.3) при k = 1.

Вычет в существенной особой точке

Для вычета в существенно особой точке простых формул нет. Поэтому его надо считать либо по определению, как интеграл, либо при помощи разложения в ряд Лорана, чтобы найти c₋₁.