Преобразование Лапласа

Утверждение 12.1

Условие

f(t) ∈ Λ(α).

Утверждение

∀ s > α   ∃ M = M(s) ∈ :   ∀ t > 0   |f(t)| ≤ Me^st.

Доказательство

По определению 12.1, α есть точная нижняя грань всех s, таких, для которых существует M ∈ : ∀ t > 0

|f(t)| ≤ Me^st.

Обозначим множество всех таких s через . Тогда, по определению точной нижней грани равенство α = inf означает, что:

1) ∀ s ∈ выполняется неравенство α ≤ s;

2) ∀ ε > 0   ∃ ∈ : α + ε > .

Пункт 2) данного определения означает, что если взять произвольное число s = α + ε > α, то найдётся

∈ : s = α + ε > .

Другими словами, ∃ M ∈ : ∀ t > 0 выполняется неравенство |f(t)| ≤ Me^st. Но, поскольку для s = α + ε > , очевидно,

≤ e^st при всех t ≥ 0,

и поэтому неравенство |f(t)| ≤ Me^st будет иметь место с тем же M и при всех t.