Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений
Подставляем (12.11), (12.12) в (12.10) и получаем:
Приведём подобные:
Для более компактной записи введём обозначения:
c3 = a − 2 + c1, c2 = c1 − 2.
В этих обозначениях
Наконец, мы можем, воспользовавшись 4, 1 и 2 пунктами таблицы, найти оригинал функции Y(p) — неизвестную функцию y(x):
y(x) = c3e−x − c2 + c2x + x2.
Заметим, что, как и положено для общего решения линейного ОДУ второго порядка, ответ содержит две произвольные константы: c3 и c4. Однако, в выражениях для этих констант входит a из начального условия (12.6), и не входит b. Почему же решение задачи Коши не зависит от y′(0)? Нет ли здесь противоречия с известной теоремой существования единственного решения задачи Коши?
Дело в том, что ТСЕ формулируется для уравнений, коэффициенты при старшей производной которых не обращаются в нуль. А в нашем случае коэффициент при y″ есть x и он обращается в нуль в точке, в которой мы задавали данные Коши (12.6). То есть в этой точке наше уравнение второго порядка вырождается в уравнение первого порядка! Естественно, для подобных уравнений нужна более сложная теория, чем для обычных (не вырождающихся) линейных ОДУ, и стандартная TCE решения задачи Коши тут просто неприменима. Однако, как мы видим, здесь применим аппарат операционного исчисления.
