Применение преобразования Лапласа к решению интегральных и интегро-дифференциальных уравнений

Пример 12.4

Решить преобразованием Лапласа интегро-дифференциальное уравнение:

y″(x) − sin(x − t)(y″(t)+ y(t))dt = 2 cos x

с начальными условиями

y(0) = y′(0) = 0.

Пусть y(x) Y(p). Из пункта 5 таблицы мы знаем, что

Тогда по свойству 5

sin(x − t)y(t)dt Y(p) · ,

а поскольку y″ p²Y(p) − py(0) − y′(0) (по свойству 3), в силу данных Коши y(0) = y′(0) = 0,

y″(x) p²Y(p),   sin(x − t)y″(t)dt p²Y(p)· .