Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений

Пример 12.3

Применяя преобразование Лапласа, найти общее решение дифференциального уравнения:

xy″ + (x − 1)y′ − y = y(0) = x².

Пусть y(x) Y(p). Поскольку y″ p²Y(p) − py(0) − y′(0) (по свойству 3), а начальные условия нам не заданы, положим

y(0) = a, y′(0) = b,

(12.6)

где a и b — произвольные постоянные.

Чтобы выяснить, что произойдёт с левой частью уравнения под действием преобразования Лапласа, нам надо найти изображения произведений xy′ и xy″. Учитывая, что

y′ pY(p) − y(0) = pY(p) − a,

y″ p²Y(p) − py(0) − y′(0) = p²Y(p) − ap − b,

из свойства 6 сразу получаем:

xy′ −(pY(p) − a)′ = −pY′(p) − Y(p);

(12.7)

xy″ −(p2Y(p) − ap − b)′ = −p2Y′(p) − 2pY(p) + a.

(12.8)