Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений

Вспоминая, что

x² ,

oкончательно получаем, что под действием преобразования Лапласа наше уравнение преобразуется в

−p²Y′(p) − 2pY(p) + a − pY′(p) − Y(p) − (pY(p) − a) − Y(p) = ,

откуда

−p(p + 1)Y′(p) − (3p + 2)Y(p) + 2a = .

Поделим это линейное ОДУ первого порядка на (−p(p + 1)):

(12.9)

Итак, исходная задача — линейное уравнение второго порядка — свелась к аналогичной задаче, но уже для уравнения первого порядка. Его легко решить методом вариации постоянной. Сначала находим решение соответствующего однородного уравнения:

Затем, полагая c = c(p), ищем решение (12.9) в виде Y_oHo = . Подставляя этот искомый вид решения в (12.9), получаем c′(p) = 2ap − , откуда

c(p) = ap² + + c₁.