Необходимое условие сходимости функционального ряда

Теорема 3.2

Необходимое условие сходимости функционального ряда

Условие

Ряд φ_k(z) сходится в D.

Утверждение

∀ z ∈ D    φ_k(z) = 0.

Доказательство

По критерию Коши,

∀ z ∈ D   ∀ ε > 0   ∃ N ∈ : ∀ n > N   ∀ p ∈      < ε.

Возьмём здесь p = 1. Получим:

∀ z ∈ D   ∀ ε > 0   ∃ N ∈ : ∀ n > N   |φ_{n + 1}(z)| < ε.