Абсолютная сходимость

Определение 3.2

Если сходится ряд из модулей |φ_k(z)| сходится в области D, то функциональный ряд φ_k(z) называется абсолютно сходящимся в D.

Утверждение 3.1

Условие

|φ_k(z)| сходится в D.

Утверждение

φ_k(z) сходится в D.

Доказательство

По критерию Коши сходимости функционального ряда, из условия теоремы следует:

∀ z ∈ D   ∀ ε > 0   ∃ N ∈ : ∀ n > N   ∀ p ∈    |φ_k(z)| < ε.

Оценим сумму:

≤ |φ_k(z)| < ε.

Поэтому, для ряда φ_k(z) также выполнено условие критерия Коши, следовательно, он сходится в каждой точке z ∈ D.