Многолистность и многозначность

Пример 2.4

Поскольку функция z = является n–значной, то функция = zⁿ является n–листной.

Замечание 2.1

Фактически, n–значная, k–листная функция = f(z) отображает k экземпляров комплексной плоскости z в n экземпляров комплексной плоскости . (И n, и k могут быть натуральными числами или бесконечностью).

Пример 2.5

Рассмотрим теперь функцию z = ln , обратную к  = e^z. Представим в показательной форме:  = || e^i arg  и воспользуемся тем, что для действительного числа || верно равенство || = e^ln ||. Получим: e^z =  = e^{ln || + i arg} . Отсюда:

ln = ln || + i arg .

(2.5)

Аналогично, если мы будем вместо = || e^{i arg} рассматривать = || e^{i Arg} , то получим определение бесконечнозначного логарифма:

Ln = ln || + i Arg = ln || + i arg + i · 2πk,   k ∈.

(2.6)

Таким образом, функция = e^z — бесконечнолистная функция.