Многолистность и многозначность

Пример 2.6

Приведём пример k–листной, n–значной функции = f(z).

= , где — несократимая дробь,    k, n ∈ .

(2.7)

Определение 2.5

Область D плоскости z ∈ называется областью однолистности функции = f(z), если функция f(z) является однолистной в этой области.

Пример 2.7

1) Функция = однолистна во всей комплексной плоскости z ∈ .

2) Функция Н.Е. Жуковского.

.

Чтобы найти её область однолистности, выясним, когда нарушается условие однолистности, т. е. когда обратная функция не является однозначной. Это означает, что найдётся пара различных z₁ ≠ z₂, таких что (z₁) = (z₂). Выясним, когда это возможно: , откуда (z₁ − z₂)(1 − ) = 0. Данное равенство выполнено либо при z₁ = z₂, что противоречит нашему выбору этих точек, либо при z₁z₂ = 1.

Итак, условие однолистности функции Жуковского нарушается в тех и только тех областях, в которых есть точки z₁ и z₂, такие что z₁z₂ = 1. Соответственно, областями однолистности функции Жуковского являются, например, внутренность (|z| < 1) и внешность (|z| > 1) единичного круга, верхняя (Im z > 0) и нижняя (Im z < 0) полуплоскость.