Функциональные ряды

Пример 3.1

Рассмотрим функциональную последовательность

φ_k = .

Каждая из функций φ_k определена и непрерывна (как частное непрерывных функций) всюду, кроме точек z_1,2 = ±1, в которых знаменатель обращается в нуль. Рассмотрим φ_k(z). Очевидно, что при произвольном фиксированном z ∈ D = \{±1} выполнено равенство φ_k(z) = · const → 0 при k → ∞. Поэтому на всей области сходимости функциональная последовательность φ_k сходится к функции 0.

Пример 3.2

Рассмотрим функциональную последовательность

φ_k = ,     k = 0, 1, 2, ….

Каждая из функций φ_k определена всюду на комплексной плоскости. Рассмотрим . Известно, что при всех z ∈ этот ряд сходится к функции e^z. Логично поэтому определить функцию e^z на всей комплексной плоскости именно как сумму данного ряда:

e^z = ,     z ∈ .