Степенные ряды

Определение 3.5

Функциональный ряд c_k(z − z₀)^k называется степенным рядом с центром в точке z₀.

Про степенные ряды можно сказать много: известна их область сходимости, внутри которой они сходятся равномерно и абсолютно и, следовательно, внутри которой их можно интегрировать (и даже дифференцировать) почленно. Более точно, имеют место следующие факты.

Теорема 3.6

Коши–Адамар

Условие

c_k(z − z₀)^k произвольный степенной ряд. Число R ∈ [0, +∞] определяется формулой

,     (К.-А.)

Утверждение Степенной ряд ck(z − z0)k абсолютно сходится внутри круга |z − z0| < R и расходится при |z − z0| > R. При этом сходимость ряда в любой замкнутой подобласти круга сходимость равномерна.