Степенные ряды

Доказательство

Докажем теорему для случая, когда

Сходимость в круге

Рассмотрим произвольную точку z₁ внутри круга |z − z₀| < R:

|z₁ − z₀| < R.

Числовой ряд |c_k| · |z₁ − z₀|^k является знакопостоянным рядом с действительными членами. Корень степени k из выражения |c_k| · |z₁ − z₀|^k стремится при k → ∞ к числу, меньшему единицы:

(3.1)

Поэтому, по признаку Коши о сходимости числовых рядов с неотрицательными членами, ряд |c_k| · |z₁ − z₀|^k сходится. Точку z₁ мы выбираем произвольно внутри круга |z − z₀| < R, следовательно, ряд c_k (z − z₀)^k сходится и абсолютно всюду в этом круге.

¹ В общем случае в приведённом доказательстве достаточно переписать формулы (3.1) и (3.2) с верхним пределом и применить обобщённый признак Коши о сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.