Степенные ряды

Равномерная сходимость в любой замкнутой подобласти круга сходимости

Каждую замкнутую подобласть D круга |z − z₀| < R можно заключить в круг меньшего радиуса |z − z₀| < R′ < R. Взяв произвольную точку z₁ на границе меньшего круга |z₁ − z₀| = R′ , получим, что

1) ∀ z ∈ D выполнена оценка |z − z₀| < |z₁ − z₀| = R′;

2) Числовой ряд |c_k| · |z₁ − z₀|^k = |c_k| · (R′)^k сходится (так как z₁ лежит в области сходимости исходного ряда).

По признаку Вейерштрасса, степенной ряд c_k (z − z₀)^k сходится в D абсолютно и равномерно.

Расходимость вне круга

Общий член ряда c_k (z − z₀)^k в точке в |z − z₀| > R не стремиться к нулю, так как:

(3.2)

Таким образом, в области |z − z₀| > R нарушено необходимое условие сходимости функционального ряда.