Степенные ряды

Определение 3.6

Число R мы будем называть радиусом сходимости, а круг |z − z₀| < R кругом сходимости степенного ряда

c_k (z − z₀)^k.

Замечание 3.1

В некоторых случаях более удобно пользоваться другой формулой для определения R:

Заметим, однако, что данный предел не всегда существует, в отличие от верхнего предела в формуле Коши–Адамара.

Замечание 3.2

Когда пишут, что R может принимать значение R = +∞, под этим понимается, что и кругом, а точнее, областью сходимости данного степенного ряда является вся комплексная плоскость .

Кроме того, стоит иметь ввиду, что каждый степенной ряд сходится хотя бы в одной точке — в точке z₀ центра этого ряда. В самом деле, при z = z₀ общий член ряда принимает вид

Поэтому c_k (z₀ − z₀)^k = c₀ + 0 + 0 + ... = c₀.