Степенные ряды

7) Ln e^z = ln |e^z| + i arg e^z + 2πki = a + ib + 2πki = z + 2πki;

8) e^z ≠ 0 в ;

9) Формулы Эйлера: e^iz = cos z + i sin z, , ;

10) sin (z₁ + z₂) = sin z₁ cos z₂ + cos z₁ sin z₂;

11) cos (z₁ + z₂) = cos z₁ cos z₂ − sin z₁ sin z₂;

12) sin² z + cos² z = 1   (∀ z ∈ );

13) sin z, cos z непрерывны всюду в ;

14) sin z = 0   ⇔   z = πk,   k ∈ ;

15) cos z = 0   ⇔   z = + πk,   k ∈ ;

16) sh (z₁ + z₂) = sh z₁ ch z₂ + ch z₁ sh z₂;

17) ch (z₁ + z₂) = ch z₁ ch z₂ + sh z₁ sh z₂;

18) ch² z − sh² z = 1   (∀ z ∈ );

19) sh z, ch z непрерывны всюду в ;

20) sh z = 0   ⇔   z = πki,    k ∈ ;

21) ch z = 0   ⇔   z = + πki,    k ∈ .

Заметим, что свойства 4) — 7), 9) — 13) и 16) — 18) автоматически следуют из определения 3.7 и свойств экспоненты 1) — 3).