Дробно-линейная функция

3. По утверждению 5.1 нам надо проверить, что f(z) — однозначная однолистная функция аналитична в односвязной области
\{z = −β} и отображает её на область \{ = λ}, причём, f ′(z) ≠ 0 в \{z = −β}. Аналитичность, однозначность и однолистность мы установили в пунктах 1 и 2 этого доказательства. Убедимся, что f ′ ≠ 0:

Для завершения доказательства заметим, что конформность отображения точки z = −β в точку w = ∞ следует из того, что функция ₂ = в точке z = 0 обладает свойством сохранения углов. (Углом в точке = ∞ между двумя прямыми называется взятый с обратным знаком угол, под которым они пересекаются во второй точке пересечения.) Действительно, функция
₂ = , с геометрической точки зрения осуществляет композицию отображения инверсии |₂| = (т. е. симметрии относительно единичной окружности) и симметрии относительно оси Ох (ибо arg ₂ = −arg z).

При инверсии прямая, проходящая через центр окружности, отображает в себя. (Проверить). Поэтому все прямые, пересекающиеся в z = 0 под углом θ, будут отображены в прямые, симметричные им относительно Ох, угол между ними в точке 0 станет (−θ), а в бесконечности он, соответственно, останется равен θ. А постоянство растяжения в z = −β следует из того, что
z′()|_∞ = 0.