Круговое свойство дробно-линейной функции

Теорема 5.4

Круговое свойство дробно-линейной функции

Условие

f(z) = = λ, где λ, α, β ∈ (λ ≠ 0, α ≠ β).

Утверждение

Образом любой окружности на плоскости z при отображении = f(z) является окружности плоскости .

Доказательство

Поскольку дробно-линейная функция является композицией линейной функции ₁(z) = z₀ + z₁z и функции ₂(z) = , необходимо убедиться, что обе эти функции отображают окружности на плоскости z в окружности на плоскости .

Линейная функция. При умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются. Геометрически это означает, что функция z₁z растягивает всю плоскость в |z₁| раз и поворачивает её на угол arg z₁. Сумма же комплексного числа с комплексной константой z₀ геометрически есть параллельный перенос плоскости на радиус-вектор числа z₀. Таким образом, линейная функция ₁(z) = z₀ + z₁z осуществляет следующую композицию преобразований плоскости z: преобразование подобия (растяжение в |z₁| раз) и преобразования (поворот и параллельный перенос), переводящие все фигуры в равные им. Поэтому и окружности на плоскости z перейдут в окружности.