Гармонические функции

Замечание 4.1

Условие u, υ ∈ C²(D). В теореме 4.3 можно убрать. В самом деле, ниже будет показано (без использования данной теоремы), что аналитическая  функция  бесконечно  дифференцируема, следовательно, уже из требования аналитичности f(z) следует, что функции u, υ ∈ C^∞(D).

Пример 4.3

Рассмотрим f(z) = e^z = e^x cos y + ie^x sin y. Её действительная и мнимая части функции e^x cos y и e^x sin y образуют сопряжённую пару гармонических функций.

Теорема 4.4

Условие

u(x, y) — гармоническая функция в D.

Утверждение

∃ υ(x, y) сопряжённая к u(x, y) гармоническая функция. (другими словами, всегда найдётся f(z) = u(x, y) + iυ(x, y) — аналитическая функция в D с действительной частью Re f(z) = u(x, y).)