Гармонические функции

Пример 4.4

Рассмотрим u(x, y) = x + y. Чтобы найти сопряжённую функцию υ(x, y), учтём, что и , откуда

.

Этим условиям удовлетворяет, например, функция υ(x, y) = −x + y.

Таким образом, функции u(x, y) = x + y и υ(x, y) = −x + y образуют сопряжённую пару гармонических функций. Найдём функцию f(z) = u + iυ.

f(z) = x + y + i(−x + y) = x + iy − i(x + iy) = z – iz = (1 − i)z.