Геометрический смысл модуля и аргумента производной

Пусть функция = f(z) аналитична в некоторой области D ⊂ и отображает область D плоскости z в область G

плоскости . Представим её производную в произвольно заданной точке z₀ ∈ D в показательной форме:

f′(z0) = = keiα.

(4.7)

Тогда отображение, осуществляемое функцией f(z), переводит бесконечно малую окрестность точки z₀ ∈ D в подобную окрестность точки ₀ = f(z₀) ∈ G, поворачивая её на угол α и растягивая в k раз.

Убедимся в этом. Из (4.7) следует

Δ = Δz · k ·e^iα + (Δz), при Δz → 0.

Рассмотрим главное слагаемое: Δz · ke^iα. Поскольку при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются,

|Δ| ≈ k |Δz|, arg |Δ| ≈ arg |Δz| + α.

(4.8)

Таким образом, функция f(z) растягивает в k раз окрестность точки z₀ и поворачивает её на угол α.

Пример 4.5

Рассмотрим f(z) = 2iz. Её действительная и мнимая части функции u(x, y) = −2y и υ(x, y) = 2x. Легко убедиться, что на всей комплексной плоскости выполнены условия Коши–Римана: и , поэтому f(z) аналитична всюду на . При этом её производная, в силу следствия 4.1, равна

.

Таким образом, эта функция поворачивает комплексную плоскость на угол и растягивает её в 2 раза.