Понятие конформного отображения

Определение 5.1

Отображение области D комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости обладает свойством сохранения углов, если угол между любыми двумя пересекающимися кривыми в D равен углу между их образами.

Отображение области D комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости обладает свойством постоянства растяжения, если образы всех бесконечно малых отрезков с общей вершиной в D в одинаковое число раз длиннее (короче) своих прообразов. (При этом коэффициент растяжения может быть различным для отрезков, не имеющих общей вершины.)

Замечание 5.1

Как мы установили в пункте 4.6, если функция = f(z) аналитична в D, то отображение, которое оно задаёт, обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжения во всех точках, где определены модуль и аргумент производной. Поскольку = f(z) аналитична в D, то единственные точки, где нарушается это условие, это точки, в которых f ′(z) = 0 (аргумент числа 0 не определён). В остальных случаях это отображение является отображением подобия. Оно подобным образом растягивает окрестность каждой точки, при этом поворачивая её на некоторый угол. В частности, если рассмотреть любые две пересекающиеся в некоторой точке z ∈ D кривые, то их образы, будучи повёрнуты в точке пересечения на один и тот же угол, будут пересекаться под тем же самым углом, что и исходные кривые.