Конформные отображения. Примеры

Пример 5.6

Найти конформное отображение полукруга |z| < 1, Im z > 0 на верхнюю полуплоскость Im > 0.

Шаг 1

Отображение двуугольника в угол.

Данный полукруг двуугольник с вершинами z₁ = −1 и z₂ = 1, на одной его стороне (диаметре) лежит точка z₃ = 0, а на другой (полуокружности) точка z₄ = i. Найдём дробно-линейную функцию ζ = λ отображающую

−1 0, 1 ∞, 0 1.

−1 0  ⇒  α = 1;

1 ∞  ⇒  β = −1;

0 1  ⇒  1 = λ.

Отсюда:

ζ = −.