Симметричное свойство и свойство о трёх точках

Теорема 5.6

Симметричное свойство дробно-линейной функции

Условие

Функция f(z) = = λ, где λ, α, β ∈ (λ ≠ 0, α ≠ β).

Утверждение

Любая пара точек плоскости z, симметричных относительно какой-либо окружности, отобразится функцией = f(z) в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности.

Доказательство

Проведём через пару симметричных относительно окружности

|z − z₀| = R

точек P и P′ две окружности. Обе они в силу леммы 5.1 ортогональны к окружности |z − z₀| = R. Поэтому их образы при дробно-линейном отображении будут

1) окружностям;

2) ортогональными к окружности | − ₀| = , (образу окружности |z − z₀| = R) в силу свойства сохранения углов при конформном отображении;

3) их точками пресечения будут точки (P) и (P′) образы точек P и P′.

Поскольку (P) и (P′) лежат на пересечении окружностей, ортогональных окружности | − ₀| = (образу окружности
|z − z₀| = R), из леммы 5.2 следует, что (P) и (P′) симметричны относительно окружности | − ₀| = .