Конформные отображения. Примеры

Пример 5.1

Найти конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 на внутренность единичного круга || < 1 так, чтобы точка
z = i отобразилась в точку = 0 и arg (′(i)) = .

Границей исходной области является «окружность» (прямая Im z = 0), а граница её образа — окружность || = 1 . Поэтому естественно искать функцию, осуществляющую данное конформное отображение, среди дробно-линейных функций.

Итак, ищем функцию вида

= λ.

В силу симметричного свойства дробно-линейной функции (теорема 5.6), точка −i, симметричная точке i относительно «окружности» Im z = 0, отобразится в точку, симметричную относительно её образа окружности || = 1, точке 0. Точка 0 центр окружности || = 1, поэтому симметричной ей будет точка = ∞.

Постановка задачи

Дано

arg (′(i)) = и