Теорема о максимуме модуля

Теорема 6.11

Условие

f(z) const аналитична в области D и непрерывна в .

Утверждение

|f(z)| не может достигать максимального значения во внутренней точке D.

Доказательство

Предположим противное: максимум модуля |f(z)| = M достигается внутри D. Обозначим через S множество точек D, в которых |f(z)| = M. Возможны два варианта:

1) S = D, либо

2) найдётся точка z₀ ∈ D, граничная для S (то есть в любой её окрестности есть как точки из S, так и точки не из S).

Убедимся, что оба случая приводят нас к противоречию.

1) Если S = D, то |f(z)| = M всюду в D, откуда, в силу непрерывности f(z) следует, что f(z) = const в D. Но это противоречит условию теоремы, значит, этот случай невозможен.

2) Пусть

∃z₀ ∈ D ∩ ∂S: |f(z₀)| = M.