Теорема Морера

Теорема 6.9

Условие

f(z) непрерывна в области D. Интеграл от f(z) по любому замкнутому контуру, лежащему в D, равен 0.

Утверждение

f(z) аналитична в D.

Доказательство

В силу теоремы 6.4 при произвольных z, z₀ ∈ D функция F(z) = f(ζ)dζ аналитична в D причём F′(z) = f(z). (Интеграл берётся вдоль любого контура, целиком лежащего в D.) Теорема 6.6 утверждает, что производная аналитической функции также является аналитической функцией, поэтому f(z) = F′(z) аналитична в D.