Теорема единственности

Теорема 7.10

Единственность аналитических функций

Условие

Функции f(z) и (z)аналитичны в D и совпадают в точках a_n, причём

∃ a_n = a ∈ D.

Утверждение

f(z) ≡ (z),   z ∈ D.

Доказательство

Рассмотрим функцию h(z) = f(z) − (z). Она аналитична в D и, т. к. f(a_n) = (a_n), n ∈ ,

h(a_n) = 0,   n ∈ .

При этом h(a) = h(a_n) = 0.

Пусть h(z) 0 ни в какой окрестности точки a. Тогда она, по теореме 7.9 об изолированных нулях, не имеет других нулей, кроме a в накоторой окрестности a. Однако такой окрестности не существует, поскольку a_n → a, n → ∞ и h(a_n) = 0. Полученное противоречие говорит, что наше предположение об отсутсвии такой окрестности точки a, в которой h(z) ≡ 0, неверно.

Значит, есть окрестность U(a) точки a, такая что h(z) ≡ 0 в U(a). В реальности h(z) может быть тождественным нулём и за пределами U(a), поэтому обозначим через G область, содержащую U(a) и такую, что ∀ z ∈ G   h(z) = 0, а в любой окрестности каждой точки её границы ∂G содержатся точки, где h(z) ≠ 0 (или не определена).