О радиусе сходимости степенного ряда

Теорема 7.6

О радиусе сходимости проинтегрированного степенного ряда

Условие

Радиус сходимости ряда c_k(z − z₀)^k равен R.

Утверждение

Радиус сходимости ряда c_k (ζ − z₀)^kdζ также равен R (все интегралы берутся по произвольному контуру, соединяющему точки z₁ и z, лежащему в круге |ζ − z₀| ≤ R).

Доказательство

По теореме о первообразной, функции (ζ − z₀)^kdζ есть аналитические функции. Являющиеся к тому же первообразными для (z − z₀)^k. Отсюда