Ряд Лорана

Теорема 8.2

Единственность ряда Лорана

Условие

Функция S(z) есть сумма ряда c_n(z − a)ⁿ в кольце {z: r < |z − a| < R}, где 0 ≤ r < R ≤ ∞.

Утверждение

Функция S(z) является аналитической в кольце {z: r < |z − a| < R}, и её ряд Лорана с центром в точке a совпадает с рядом  c_n(z − a)ⁿ.

Доказательство

1) Фиксируем произвольную точку z ∈ {r < |z − a| < R} и подберём числа r′ и R′ так, чтобы r < r ′ < |z − a| < R ′ < R.

Поскольку степенные ряды

cn(z − a)n , на {|z − a| < R′},

(8.6)

cn(z − a)n , на {|z − a| > r′},

(8.7)

то, по теореме 7.4 ряд c_n(z − a)ⁿ можно дифференцировать почленно в кольце z ∈ {r′ < |z − a| < R′}, 0 ≤ r < R ≤ ∞ сколько угодно раз. Из (8.6) и (8.7) следует также, что эти ряды сходятся равномерно в каждой замкнутой подобласти исходного кольца {r < |z − a| < R}.