Ряд Лорана

Шаг 3

Поскольку кольцо |a| < |z| < |b| есть пересечение внешности круга |z| ≤ |a| и внутренности круга |z| ≤ |b|, то вторую дробь надо раскладывать в |z| < |b|, то есть по степеням z.

= [по формуле Утв. 7.2] =

Поскольку мы воспользовались формулой суммы геометрической прогрессии, верной при |q| = < 1, то полученное нами разложение верно про |z| < |b|, и ряд сходится к в круге |z| < |b|.

Шаг 4

Ряд сходится к в вне круга |z| ≤ |a|, а ряд сходится к в круге |z| < |b|, поэтому их разность будет сходиться в пересечении областей сходимости каждого из них, то есть в кольце |a| < |z| < |b|.

Таким образом, для функции f(z) = в этом кольце мы получили представление:

= [переименуем в первом ряде индекс суммирования: n = −k] =

где