Решение уравнения теплопроводности
Аналитически уравнение теплопроводности решается лишь в ряде простейших случаев. Для точного определения T(x, t) необходимо в каждом конкретном случае находить решение численными методами на компьютере. Однако анализ аналитических решений, полученных при разумных упрощениях позволяет выявить закономерности нагрева материалов, которые, как показывает опыт, достаточно хорошо описывают реальную картину нагрева материала.
Методы решения уравнения теплопроводности достаточно подробно изложены в целом ряде учебных пособий и справочников. Мы воспользуемся лишь результатами расчёта для оценки процесса нагрева для трёх случаев:
1) одномерная модель — rs ≫ 
, ≫ δ, где rs — радиус пятна лазерного излучения, δ = 1/α, α — коэффициент поглощения;
2) острая фокусировка луча — rs ≪ , ≫ δ;
3) объёмное поглощение, характерное для ряда полупроводников и диэлектриков — ≪ δ.
Для простоты анализа при выборе граничных условий считается, что температура ограничена при больших r и х так, что T |x,r→∞ = 0, а начальная температура во всех точках тела равна нулю, т. е. T |t=0 = 0. Для квазистационарного режима (q = q0) при t < τi решение одномерной задачи (rs ≫ ) имеет вид
