4.3. Закон Ома для однородной цепи

Выше отмечалось (см. (4.6)), что плотность тока j  пропорциональна величине электрического поля Е

Почему же мы приняли, что в проводниках средняя скорость зарядов постоянна и пропорциональна величине напряженности электрического поля, а не возрастает неограниченно? Действительно, свободные заряды вне проводника под действием однородного внешнего поля получали бы ускорение

Таким образом, направленная скорость зарядов вдоль поля (или против поля, если заряды отрицательные) возрастала бы со временем. Тогда и плотность тока также росла бы со временем: j = v = at. Однако внутри проводника свободные заряды испытывают столкновения с атомами проводника. За время свободного полета t между двумя столкновениями заряд в проводнике приобретает скорость вдоль внешнего электрического поля

После очередного столкновения направленная скорость теряется. Затем, до следующего столкновения, происходит новое наращивание направленной скорости. Поэтому в среднем направленная скорость движения постоянна и определяется скоростью, накапливаемой между двумя последовательными столкновениями. 

На участке электрической линейной цепи длиной dl напряженность поля связана с потенциалом обычным соотношением

Следовательно, можно записать

 

Видео 4.1. Демонстрация падения потенциала вдоль проводника, по которому идет ток.

Здесь  и S — проводимость и площадь поперечного сечения проводника в том месте, где находится выбранный нами бесконечно малый элемент dl. А вот сила тока I  будет постоянна на всей длине l проводника: при стационарном течении зарядов сколько их входит через одно сечение проводника, столько и выходит через другое. Это — также следствие закона сохранения заряда и предполагаемой стационарности ситуации, когда, в частности, . 

В силу одинаковости силы постоянного тока  через любое сечение проводника, при интегрировании соотношения (4.17) вдоль проводника от точки 1 до точки 2, мы можем вынести  за знак интеграла:

Под знаком интеграла находится величина, не зависящая от величины силы тока и напряжения на концах проводника, но лишь от его геометрических размеров, формы и материала. Она называется сопротивлением проводника между точками 1 и 2

где  — удельное сопротивление проводника.

Таким образом, получаем

 

В случае прямолинейного однородного проводника постоянного сечения его сопротивление будет равно

 

1 Ом — это сопротивление такого участка цепи без ЭДС, по которому протекает ток в 1 А при напряжении на его концах в 1 В (рис. 4.8).  

 

Рис. 4.8. Г. Ом (1787–1854) — немецкий физик

Удельное сопротивление  вещества характеризует проводящую способность материала, оно различно для разных веществ и существенно зависит от температуры проводника. Однако не зависит от формы и размеров проводника. Мы не вынесли за знак интеграла в (4.19), потому что встречаются цепи, отдельные участки которых составлены из различных материалов. В этом случае  будет зависеть от переменной интегрирования . Значения удельного сопротивления для некоторых веществ приведены в таблице.

Видео 4.2. Увеличение сопротивления металла при увеличении его температуры.

Видео 4.3. Уменьшение сопротивления полупроводника при увеличении его температуры.

Таблица

 Удельные сопротивления некоторых проводников

Обращает внимание, что в целом удельные сопротивления металлов близки друг к другу, что свидетельствует об общности механизма проводимости. Удельные же сопротивления плохих проводников и изоляторов варьируются в широких пределах. Например, для морской воды r = 0,3 Ом · м, для влажной земли  для стекла  для янтаря 

Полученное выше соотношение

называется законом Ома в интегральной форме (рис. 4.9) для однородного участка цепи, то есть участка, на котором нет источников — источников сторонних сил, или просто законом Ома (для такого участка цепи).

Рис. 4.9. Размерности физических величин в законе Ома

 

Пример 1. Проводник из меди имеет форму усеченного конуса с радиусами оснований r₁ = 1 мм и r₂ = 2 мм. Длина проводника L = 10 см. Найти его сопротивление.

Решение. Зависимость радиуса проводника r(l) от расстояния l, отсчитываемого от меньшего основания, показана на рис. 4.10.

Рис. 4.10. К вычислению сопротивления проводника конической формы 

Математически эта зависимость выражается линейным законом

 

(4.22)

Площадь сечения S(l) на расстоянии l от левого конца можно найти как

Тогда из формулы (4.19) следует

 

(4.23)

Подставляя численные значения, находим

На практике электрические цепи представляют собой совокупность проводников, соединенных между собой определенным образом. Наиболее часто встречаются последовательное и параллельное сопротивление проводников.

Последовательное соединение проводников 

При последовательном соединении согласно закону сохранения заряда через сопротивления проходит одинаковый заряд за одно и то же время, поэтому токи во всех сопротивлениях одинаковы

Падения напряжения на первом проводнике  на втором  и т.д. (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Последовательное соединение проводников

Сумма падений напряжения на всех сопротивлениях равна напряжению U_ab на концах цепи

По закону Ома для участка цепи запишем

Таким образом

С другой стороны, U_ab = IR_посл, где R_посл — общее сопротивление цепи при последовательном соединении. Следовательно,

Сводя воедино полученные соотношения, получаем закон последовательного соединения проводников: 

 

Параллельное соединение проводников 

При параллельном соединении (рис. 4.12) напряжение U_ab на участке ab будет одинаковым для каждого отдельного сопротивления, то есть

(4.28)

 

Рис. 4.12. Параллельное соединение проводников 

Из закона сохранения заряда следует, что при разветвлении цепи часть зарядов может пойти по ее отдельным участкам, но полное количество заряда, пришедшего к точке разветвления, должно равняться сумме всех зарядов, вышедших из нее. Иными словами, ток I равен сумме токов в отдельных ветвях цепи

С другой стороны, сила тока на всем участке равна

где R_пap — общее сопротивление цепи при параллельном соединении.

Следовательно,

Сводя воедино полученные соотношения, получаем закон параллельного соединения проводников: 

Формулы для последовательного и параллельного соединения проводников позволяют во многих случаях рассчитывать сопротивление сложной цепи, состоящей из многих резисторов. На рис. 4.13 приведен пример такой сложной цепи и указана последовательность вычислений. 

 

Рис. 4.13. Расчет сопротивления сложной цепи. Сопротивления всех проводников указаны в омах (Ом)

Цепи, подобные изображенной на рис. 4.14, а также цепи с разветвлениями, содержащие несколько источников, рассчитываются с помощью правил Кирхгофа.

 

Рис. 4.14. Пример электрической цепи, которая не сводится к
комбинации последовательно и параллельно соединенных проводников 

Как следует из (4.14), работа против сил поля внутри источника тока выражается через падение напряжения на внешнем сопротивлении R 

Для замкнутой электрической цепи работа против сил сопротивления среды источника  приводит к падению напряжения  внутри источника, так что

(4.32)

 

Приписав источнику тока внутреннее сопротивление r, записываем падение напряжения на внутреннем участке цепи в соответствии с законом Ома

(4.33)

Как следует из (4.13), при замкнутой внешней цепи (рис. 4.15, 4.16) ЭДС источника тока e равна сумме падений напряжения на внутреннем сопротивлении источника и во внешней цепи

(4.34)

откуда

(4.35)

Рис. 4.15. Направление электрического тока J (1 → 2)

 совпадает с направлением действия источника тока с ЭДС e (3 → 4)

 

Рис. 4.16. Замкнутая цепь с активным сопротивлением R и источником тока (показан пунктирным прямоугольником) с ЭДС e и внутренним сопротивлением r. Напряжение на зажимах источника (точки 1 и 2) равно   и меньше ЭДС на величину падения напряжения Ir на внутреннем сопротивлении. Распределение потенциала вдоль цепи показано справа. Сумма падений напряжения на внутреннем сопротивлении и нагрузке (внешней цепи) равна ЭДС источника тока 

Видно, что внешнее и внутреннее сопротивления можно рассматривать как два сопротивления, соединенных последовательно. На рис. 4.17 дано схематическое изображение источника постоянного тока с ЭДС равной   и внутренним сопротивлением r в трех режимах: «холостой ход», работа на нагрузку и режим короткого замыкания (к. з.). Указаны напряженность  электрического поля внутри батареи и силы, действующие на положительные заряды:  — электрическая сила и  — сторонняя сила. В режиме короткого замыкания электрическое поле внутри батареи исчезает.

  

Рис. 4.17. Схематическое изображение источника постоянного тока:
1 — батарея разомкнута; 2 — батарея замкнута на внешнее сопротивление R; 3 — режим короткого замыкания 

Измерительные приборы — вольтметры и амперметры — бывают двух видов: стрелочные (аналоговые) и цифровые. Цифровые электроизмерительные приборы представляют собой сложные электронные устройства. Обычно цифровые приборы обеспечивают более высокую точность измерений (рис. 4.18).

Рис. 4.18. Включение амперметра (А) и вольтметра (В) в электрическую цепь 

На рис. 4.19 показан опыт по изучению падения напряжения на участке цепи. Падение напряжения на участке цепи, содержащем источник ЭДС, зависит от тока, протекающего по этому участку, и может даже менять знак при изменении этого тока. Это демонстрируется на примере цепи, в которую включены последовательно две батареи, реостат и амперметр. К одной из батарей подключен вольтметр, показывающий падение напряжения на ней. При изменении тока в цепи при помощи реостата величина и знак этого напряжения меняются.

 

Рис. 4.19. Опыт по изучению падения напряжения на участке цепи 

 

Дополнительная информация

http://ns1.ip-ip.org/biography/georg-simon-om.htm  — Георг Ом (1775–1854);

http://www.mexel.narod.ru/Metall.html — удельные сопротивления металлов;

http://www.megaron.su/content/view/69/18/  — внутреннее сопротивление химического источника тока и его измерение;

http://radiobooka.ru/radio_nach/reostat.phtml — реостат, самодельный реостат;

http://intra.kspu.karelia.ru/~lphe/electric_and_magnetic/lab_pribori/theory.html — простые электроизмерительные приборы, амперметр;

http://www.energyquest.ca.gov/story/chapter07.html  — передача электроэнергии;

http://energyfuture.ru/transmission_modd1 — начало эпохи передачи электроэнергии;

http://nmu1.ru/articles/view/12/ — линии электропередач.