8.6. Доказательство равенства коэффициентов взаимной индукции на основе 3-го закона Ньютона

Рассмотрим два (бесконечно) малых покоящихся витка с токами I₁ и I₂ . По третьему закону Ньютона

(8.38)

где, например,   есть сила, действующая на второй виток со стороны первого.

Если выбрать ось x вдоль линии, соединяющей контуры, то для силы, действующей на виток, имеем

(8.39)

 — индукция магнитного поля в точке расположения витка с магнитным моментом  .

В нашем случае должно выполняться равенство

(8.40)

как следствие уравнений (8.38) и (8.39). Здесь B₁₍₂₎ — индукция магнитного поля в области витка 1(2), с бесконечно малым вектором площади  , магнитный момент которого  . Вместе с уравнением (8.40), это означает, что

(8.41)

с точностью до аддитивной константы, которая очевидно равна нулю. Поток вектора магнитной индукции через бесконечно малый контур есть по определению . Подставляя это выражение для витков 1 и 2 в (8.41), имеем

(8.42)

Кроме того, по определению коэффициентов взаимной индукции, имеем

 .

Подстановка этих равенств в (8.42) приводит к требуемому равенству коэффициентов взаимной индукции для малых витков.

Дальнейшее доказательство равенства для витков с током произвольной формы не представляет труда. Действительно, любой большой виток можно разбить на много маленьких, после чего нетрудно получить тот же результат для произвольного контура. Таким образом, равенство коэффициентов взаимной индукции есть прямое следствие третьего закона Ньютона.