1.2. Гармонические колебания

Мы рассмотрели несколько физически совершенно различных систем, и убедились, что уравнения движения приводятся к одной и той же форме

Различия между физическими системами проявляются лишь в различном определении величины  и в различном физическом смысле переменной x: это может быть координата, угол, заряд, ток и т. д. Отметим, что при этом, как следует из самой структуры уравнения (1.18), величина  всегда имеет размерность обратного времени.

Уравнение (1.18) описывает так называемые гармонические колебания.

Уравнение гармонических колебаний (1.18) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка (так как оно содержит вторую производную от переменной x). Линейность уравнения означает, что

• если какая-то функция x(t) является решением этого уравнения, то функция Cx(t) также будет его решением (C – произвольная постоянная);
• если функции x₁(t) и x₂(t) являются решениями этого уравнения, то их сумма x₁(t) + x₂(t) также будет решением того же уравнения.

Доказана также математическая теорема, согласно которой уравнение второго порядка имеет два независимых решения. Все остальные решения, согласно свойствам линейности, могут быть получены как их линейные комбинации. Непосредственным дифференцированием легко проверить, что независимые функции  и  удовлетворяют уравнению (1.18). Значит, общее решение этого уравнения имеет вид:

где C₁, C₂ — произвольные постоянные. Это решение может быть представлено и в другом виде. Введем величину

и определим угол   соотношениями:

Тогда общее решение (1.19) записывается как

Согласно формулам тригонометрии, выражение в скобках равно

Окончательно приходим к общему решению уравнения гармонических колебаний в виде:

Неотрицательная величина A называется амплитудой колебания,  — начальной фазой колебания. Весь аргумент косинуса — комбинация   — называется фазой колебания.

Выражения (1.19) и (1.23) совершенно эквивалентны, так что мы можем пользоваться любым их них, исходя из соображений простоты. Оба решения являются периодическими функциями времени. Действительно, синус и косинус периодичны с периодом . Поэтому различные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени t*, за который фаза колебания получает приращение, кратное :

Отсюда следует, что

Наименьшее из этих времен

называется периодом колебаний (рис. 1.8), а  — его круговой (циклической) частотой.

Рис. 1.8.  

Используют также и частоту колебаний

Соответственно, круговая частота равна числу колебаний за  секунд.

Итак, если система в момент времени t характеризуется значением переменной x(t), то, то же самое значение, переменная   будет иметь через промежуток времени  (рис.1.9), то есть

Это же значение, естественно, повторится через время 2T, ЗT и т. д.

 

Рис. 1.9. Период колебаний

В общее решение входят две произвольные постоянные (C₁, C₂ или A, a), значения которых должны определяться двумя начальными условиями. Обычно (хотя и не обязательно) их роль играют начальные значения переменной x(0) и ее производной .

Приведем пример. Пусть решение (1.19) уравнения гармонических колебаний описывает движение пружинного маятника. Значения произвольных постоянных зависят от способа, каким мы вывели маятник из состояния равновесия. Например, мы оттянули пружину на расстояние  и отпустили шарик без начальной скорости. В этом случае

Подставляя t = 0 в (1.19), находим значение постоянной С₂

Решение, таким образом, имеет вид:

Скорость груза находим дифференцированием по времени

Подставляя сюда t = 0, находим постоянную С₁:

откуда

Окончательно

Сравнивая с (1.23), находим, что  — это амплитуда колебаний, а его начальная фаза равна нулю:  .

Выведем теперь маятник из равновесия другим способом. Ударим по грузу, так что он приобретет начальную скорость , но практически не сместится за время удара.  Имеем тогда другие начальные условия:

Так как

наше решение имеет вид

Скорость груза будет изменяться по закону:

Подставим сюда :

откуда

Окончательно получаем:

так что амплитуда колебаний равна

а начальная фаза

В общем случае, когда начальное смещение маятника из положения равновесия , а начальная скорость , связь этих величин с амплитудой и начальной фазой колебания имеет вид

Дифференцируя решение (1.22) по времени, найдем зависимость от времени скорости и ускорения маятника:

Соответствующие графики представлены на рис. 1.10 (для простоты мы положили начальную фазу ). Видно, что скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону, причем амплитуда скорости равна , а амплитуда ускорения . Скорость опережает смещение по фазе на  , ускорение находится в противофазе по отношению к смещению. Это означает, что в тот момент, когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот.

Рис. 1.10. Зависимость от времени положения, скорости и ускорения колеблющейся материальной точки

Видео 1.8 Колебания шарика в «потенциальной яме»

 

Дополнительная информация

http://www.youtube.com/playlist?list=PL05B9E2A8DC2A710F – Эксперименты по колебаниям. Видео, созданное преподавателями НИЯУ МИФИ.

http://radweb.ru/ - Анимации по гармоническим колебаниям.

http://www.ilt.kharkov.ua/bvi/ogurtsov/lect5wav.pdf – А.Н. Огурцов, лекции по колебаниям и волнам.

http://physics03.narod.ru/Interes/Pochemu/p_din3.htm – Жизненные вопросы по колебаниям и волнам.

http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=1898 – Основные понятия о колебаниях и волнах.

http://www.radweb.ru/content/teoria/teoria1c.html – Кратко о гармонических колебаниях.

http://www.youtube.com/watch?v=YedJW4qqNCM – Видеолекция по гармоническим колебаниям.

http://www.youtube.com/watch?v=093CzGsstv0 – Свободные и вынужденные колебания. Видео.

http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1187014&s=260000022 – Колебания. Краткий конспект лекций.

http://ligis.ru/effects/science/163/index.htm – Возбуждение механических гармонических колебаний. Статья с анимацией.

http://physbook.ru/index.php/Kvant._Гармонические_колебания – Гармонические колебания, обычные и удивительные.