2.4. Вычисление пройденного пути и перемещения

Если путь , пройденный материальной точкой за промежуток времени от t₁ до t₂, разбить на достаточно малые участки , то для каждого го участка выполняется условие

Тогда весь путь приближенно равен сумме

При стремлении всех к нулю это приближенное равенство становится точным, то есть

Подчеркнем, что здесь речь идет о модуле скорости. Если зависимость модуля скорости от времени выразить графически, то путь, пройденный материальной точкой за время от t₂ до t₁, численно равен площади фигуры, ограниченной кривой , осью времени и вертикальными прямыми, проходящими через точки с абсциссами и (рис. 2.7.).

Рис. 2.7. Определение пройденного пути по графику зависимости скорости от времени

При равномерном движении величина скорости постоянна и может быть вынесена из-под знака интеграла:

Так как модуль скорости , то пройденный телом путь с течением времени может только возрастать (или быть постоянным, когда тело покоится).

Если нас интересует перемещение материальной точки за то же время, то мы так же разбиваем траекторию на малые участки, но суммируем теперь векторы перемещения:

Учитывая связь перемещения с вектором скорости

получаем

В отличие от выражения для пройденного пути под интегралом здесь стоит не модуль, а вектор скорости. Точно так же при равномерном прямолинейном движении, когда , мы можем вынести скорость из-под знака интеграла:

Чтобы практически найти перемещение, интеграл, представленный в векторной форме, необходимо записать в виде интегралов для проекций

Здесь x₁, y₁, z₁ — координаты точки в момент времени t₁, а x₂, y₂, z₂ — координаты точки в момент времени t₂, соответственно величина перемещения при этом равна

а направление вектора перемещения определяется соотношением:

Пример. Пункт A находится на бетонированном аэродроме, пункт B — на примыкающем к нему поле, на котором скорость машины в n раз меньше. Для того, чтобы за кратчайшее время добраться из в , был выбран оптимальный маршрут, показанный на рис. 2.8. Найти соотношение между синусами углов α и β.

Рис. 2.8. Оптимальный маршрут из пункта А в пункт В

Все расстояния указаны на рисунке. Время , затрачиваемое на путь , преодолеваемый со скоростью , равно

Время t₂, затрачиваемое на путь , преодолеваемый со скоростью , равно

Полное время в пути, будет

Поскольку точка 0 была выбрана так, что на путь затрачивалось минимальное время, должна быть равна нулю производная времени по координате точки перехода с бетона на траву:

Поскольку

находим, что

то есть

Сходство с известным законом преломления света на границе двух сред не случайно: природа устроена так, что свет выбирает путь, требующий минимального времени. Это так называемый принцип Ферма, который мы подробно рассмотрим в соответствующем разделе.