4.9. Движение частицы в центральном силовом поле
Рассмотрим более подробно движение частицы в центральном силовом поле. Как уже отмечалось выше, ее момент импульса относительно силового центра сохраняется
или в скалярной форме
Пусть перемещение частицы за время dt есть vdt. Площадь, «заметаемая» радиус-вектором частицы (заштрихована на рис. 4.24) за это время, будет
Рис. 4.24. Cекториальная скорость частицы
Площадь, заметаемая радиус-вектором частицы в единицу времени, называется секториальной скоростью:
Подставляя выражение для площади в формулу для секториальной скорости, получим
Учитывая, что
приходим к закону площадей.
Секториальная скорость частицы, движущейся в центральном силовом поле, является постоянной величиной:
Пример. Пусть спутник движется вокруг Земли по эллиптической орбите (рис. 4.25), причем минимальное и максимальное удаление от Земли составляет Rmin и Rmax. Найдем его скорость в перигее и апогее.
Рис. 4.25. Движение спутника по эллиптической орбите вокруг Земли
Запишем в точках 1 и 2 закон сохранения момента импульса для спутника:
Запишем для тех же точек закон сохранения энергии:
Выражая v2 из закона сохранения момента импульса
и подставляя полученное выражение в закон сохранения энергии, находим искомые скорости
Видно, что в точке минимального удаления скорость спутника максимальна, и, наоборот, в точке максимального удаления его скорость минимальна.
