Физические основы механики
6. Элементы специальной теории относительности 6.5. Сложение скоростей в релятивистской механике
Скачать Содержание

6.5. Сложение скоростей в релятивистской механике

Мы говорили, что скорость света — максимально возможная скорость распространения сигнала. Но что будет, если свет испускается движущимся источником в направлении его скорости V ? Согласно закону сложения скоростей, следующему из преобразований Галилея, скорость света должна быть равна c + V. Но в теории относительности это невозможно. Посмотрим, какой закон сложения скоростей следует из преобразований Лоренца. Для этого запишем их для бесконечно малых величин:

По определению скорости ее компоненты в системе отсчета K находятся как отношения соответствующих перемещений к временным интервалам:

Аналогично определяется скорость объекта в движущейся системе отсчета K', только пространственные расстояния и временные интервалы надо взять относительно этой системы:

Следовательно, разделив выражение dx на выражение dt, получим:

Разделив числитель и знаменатель на dt', находим связь x-компонент скоростей в разных системах отсчета, которая отличается от галилеевского правила сложения скоростей:

Кроме того, в отличие от классической физики, меняются и компоненты скоростей, ортогональные направлению движения. Аналогичные вычисления для других компонент скоростей дают:

Таким образом, получены формулы для преобразования скоростей в релятивистской механике. Формулы обратного преобразования получаются при замене штрихованных величин на нештрихованные и обратно и заменой V на –V.

Теперь мы можем ответить на вопрос, поставленный в начале данного раздела. Пусть в точке 0' движущейся системы отсчета K' установлен лазер, посылающий импульс света в положительном направлении оси 0'х'. Какой будет скорость импульса для неподвижного наблюдателя в системе отсчета К? В этом случае скорость светового импульса в системе отсчета К' имеет компоненты

Применяя закон релятивистского сложения скоростей, находим для компонент скорости импульса относительно неподвижной системы К :

Мы получаем, что скорость светового импульса и в неподвижной системе отсчета, относительно которой источник света движется, равна

Тот же результат получится при любом направлении распространения импульса. Это естественно, так как независимость скорости света от движения источника и наблюдателя заложена в одном из постулатов теории относительности. Релятивистский закон сложения скоростей — следствие этого постулата.

Действительно, когда скорость движения подвижной системы отсчета << c, преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, мы получаем обычный закон сложения скоростей

При этом ход течения времени и длина линейки будут одинаковы в обеих системах отсчета. Таким образом, законы классической механики применимы, если скорости объектов много меньше скорости света. Теория относительности не зачеркнула достижения классической физики, она установила рамки их справедливости.

Пример. Тело со скоростью v0 налетает перпендикулярно на стенку, двигающуюся ему навстречу со скоростью v. Пользуясь формулами для релятивистского сложения скоростей, найдем скорость v1 тела после отскока. Удар абсолютно упругий, масса стенки намного больше массы тела.

Воспользуемся формулами, выражающими релятивистский закон сложения скоростей.

Направим ось х вдоль начальной скорости тела v0 и свяжем систему отсчета K' со стенкой. Тогда vx v0 и = –v. В системе отсчета, связанной со стенкой, начальная скорость v'0 тела равна

Поскольку стенку можно считать бесконечно массивной, по закону сохранения энергии после упругого удара тело отскочит в обратном направлении с тем же (относительно стенки) абсолютным значением скорости:

Вернемся теперь назад в лабораторную систему отсчета К. Подставляя в релятивистский закон сложения скоростей v'1 вместо v'x и учитывая опять же V = –v, находим после преобразований:

Проанализируем теперь предельные случаи.

  • Если скорости тела и стенки малы (v0 << с, v << с), то можно пренебречь всеми членами, где эти скорости и их произведение делятся на скорость света. Получаем тогда из найденной формулы результат классической механики

    Скорость шара после отскока увеличивается на удвоенную скорость стенки; направлена она, естественно, противоположно начальной. Ясно, что в релятивистском случае этот результат не годится. В частности, при v0 =  v = с/3 из него следует, что скорость тела после отскока будет равна v1 = –с, чего не может быть.

  • Пусть теперь на стенку налетает тело, двигающееся со скоростью света (например, лазерный луч отражается от двигающегося зеркала). Подставляя v0 = с в найденное соотношение, получаем

    Иными словами, скорость лазерного луча изменила направление, но не свою абсолютную величину, как и должно быть.

  • Рассмотрим теперь случай, когда стенка движется с релятивистской скоростью. В этом случае найденное соотношение дает нам

    Тело после отскока также будет двигаться со скоростью, близкой к скорости света.

  • Наконец, подставим в найденное соотношение значения v0 = v = с/3 :

    В отличие от классической механики, теория относительности дает для скорости после отскока значение, меньшее скорости света.

  • Напоследок посмотрим, что случится, если стенка удаляется от тела с той же скоростью (v = –v0). Имеем в этом случае:

    Как и в классической механике, тело стенку не догонит, и его скорость не изменится.