ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ В МЕХАНИКЕ

Кроме того, из равенства углов этих треугольников следует параллельность их сторон, представленных векторами и − . Поэтому векторы и − одинаково направлены и имеют одинаковую длину и, следовательно, равны. Аналогично доказывается, что .

Сформулированные выше свойства векторных операций позволяют проводить с векторными выражениями ряд таких же действий, какие можно проводить с числовыми. В частности, можно раскрывать скобки, когда сумма или разность векторов умножается на число, и переносить векторы слагаемые из одной части равенства в другую, меняя у них знак.

Однако не следует думать, что все правила действия с числами «механически» переносятся на векторы. Например, векторы нельзя сравнивать, то есть нельзя указать, какой из двух векторов больше или меньше. Следует отметить также, что операция деления на вектор не определена.

Проекция вектора на числовую ось. Проекцией вектора на числовую ось x (проекция вектора обозначается тем же символом, что и вектор, без стрелки, но с индексом, указывающим ось – a_x называется число, равное произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и положительным направлением оси (рис. 1.10)

(1.6)

Рис. 1.10

где символом обозначен угол между вектором и положительным направлением оси x. Из определения проекции (1.6) следует, что проекция вектора есть величина алгебраическая: если угол между вектором и положительным направлением оси x острый, его косинус положителен, и, следовательно, a_x > 0; если угол между вектором и положительным направлением оси x тупой, < 0 и a_x < 0; если вектор перпендикулярен оси x, то a_x = 0.