ГЛАВА 12. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА
Действительно, при увеличении угла, например, в два раза длина дуги увеличится также в два раза, при уменьшении угла, например, в 10 раз, длина дуги уменьшится в 10 раз. Поэтому длина дуги, опирающийся на угол, может быть мерой этого угла.
С другой стороны, длина дуги сектора также пропорциональна радиусу R, и поэтому использовать ее как меру угла саму по себе неудобно. Действительно, поскольку длина окружности пропорциональна радиусу этой окружности, то при изменении радиуса сектора R пропорционально изменится и длина дуги l(α, R), опирающейся на сектор. А это значит, что отношение
не зависит от К и прямо пропорционально величине угла α. Поэтому отношение (12.2) естественно использовать как меру углов - то есть считать единичным угол, для которого отношение (12.2) равно единице или, другими словами, на который опирается дуга длиной, равной радиусу. Это и есть угол 1 радиан. В градусах угол 1 радиан составляет чуть меньше 60 градусов. Действительно, длина окружности радиуса R составляет 2πR, поэтому полный угол равен 2π = 6, 28... радиан. Следовательно, угол 1 радиан составляет 1/6,28... часть полного угла.
В связи с определением радианной меры углов (12.2) отметим еще одно важное обстоятельство. Как следует из формулы (12.2), радиан – это безразмерная единица, поскольку получается делением длины на длину. Поэтому хотя иногда и говорят – «такой-то угол равен 1,53 радиан», слово «радиан» можно опустить, поскольку безразмерный угол – это и есть угол в радианах. Если же для углов вводить специальную единицу (как, например, градус) при нахождении длины дуги через радиус приходится вводить пересчетный коэффициент (множитель π/180 таким пересчетным коэффициентом и является). В дальнейшем все углы, если это не оговаривается особо, подразумеваются выраженными в радианах.
Установим связь угловой и линейной скоростью точечного тела. Пусть тело вращается по окружности радиуса R и за малый интервал времени Δt поворачивается на угол Δφ. Тогда перемещение тела Δr приближенно равно длине дуги, опирающейся на этот угол Δr = RΔφ (угол выражен в радианах).
