ГЛАВА 13. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

На ряд вопросов, связанных с движением тел в гравитационном поле, можно ответить с позиций закона сохранения механической энергии. Этот закон утверждает, что сумма кинетической и потенциальной энергий тела при его движении в гравитационном поле сохраняется:

где Π — потенциальная энергия тела, которая для точечного тела массой m, находящегося на расстоянии r от неподвижного точечного тела массой M (или шара; в этом случае r — расстояние до центра шара), определяется формулой

(см. (11.3)). Обсудим на конкретном примере, как используется закон сохранения механической энергии (13.15), (13.16) при описании движения тел в гравитационном поле.

Пример 13.3. Тело бросают вертикально вверх со скоростью ν₀ с поверхности планеты массы M и радиуса R. Какую скорость будет иметь тело на расстоянии R от поверхности? На какое максимальное расстояние от поверхности планеты может удалиться тело? Найти вторую космическую скорость для этой планеты.

Решение. Применим к участку пути от поверхности до точки, находящейся на расстоянии R от поверхности закон сохранения механической энергии. В начале движения, когда тело находилось на поверхности и имело скорость ν₀, его механическая энергия согласно (13.15), (13.16) равна

где m — масса тела. В конце рассматриваемого участка пути, когда тело находится на расстоянии R от поверхности —

где ν₁ — конечная скорость тела. Приравнивая начальную и конечную энергии тела на основании закона сохранения энергии, получим

откуда находим конечную скорость тела