ГЛАВА 14. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

(14.3)

Таким образом, при колебаниях тела на пружине в любой момент времени вторая производная координаты тела пропорциональна самой координате. Уравнения, связывающие неизвестные функции и их производные (в данном случае неизвестную зависимость координаты от времени x(t) и ее вторую производную), называются дифференциальными уравнениями. Дифференциальные уравнения ставят очень жесткие ограничения на возможный вид этих функций, которые, таким образом, могут быть из этих уравнений почти однозначно найдены. Для дифференциального уравнения (14.3) с помощью непосредственного вычисления второй производной можно проверить, что функция

(14.4)

где , A и B — постоянные, является решением уравнения (14.3) при любых постоянных A и B. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что ни для какой другой функции x(t) условие (14.3) выполняться не будет, и потому зависимость координаты пружинного маятника от времени может описываться только функцией (14.4).

С помощью известной тригонометрической формулы функцию (14.4) можно привести к виду

(14.5)

где tg = B/A. Из формулы (14.5) видим, что координата пружинного маятника изменяется по синусоидальному закону. Такие колебания, когда зависимость координаты тела от времени является тригонометрической функцией (синусоидой или косинусоидой), называются гармоническими. Из формулы (14.5) следует, что колебания пружинного маятника — гармонические, причем величина C имеет смысл максимального отклонения тела от положения равновесия, или амплитуды колебаний. Аргумент синуса в (14.5) принято называть фазой колебаний; величину — значение фазы при t = 0 — начальной фазой.

Дифференцируя формулу (14.4) (или (14.5)) по времени, можно найти зависимость скорости колеблющегося тела от времени