ГЛАВА 14. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Выражение для энергии математического маятника позволяет находить углы отклонения или скорости для известных скоростей или углов отклонения маятника от вертикали. Рассмотрим такой пример.

Пример 14.3. Два математических маятника, имеющих одинаковые массы, но разную длину, колеблются с одинаковыми угловыми амплитудами α. У какого из маятников энергия колебаний больше?

Решение. Полная энергия колебаний материальной точки равна максимальной кинетической или максимальной потенциальной энергиям. В данном случае удобно сравнивать максимальные потенциальные энергии, определяемые максимальным отклонением. При наибольшем отклонении от положения равновесия грузы подняты на высоту

Так как в скобках для обоих маятников угловые амплитуды одинаковы, то на большую высоту поднимается маятник большей длины, причем это отличие пропорционально квадрату длины маятника. Т.е. при увеличении длины вдвое энергия маятника увеличивается вчетверо.

Проведенное выше рассмотрение пружинного маятника дает рецепт поиска частоты колебаний тех или иных колебательных систем. Во-первых, нужно определить положение равновесия колебательной системы и найти силу, которая возвращает ее в положение равновесия при отклонениях («возвращающую» силу). Для большинства имеющихся в природе колебательных систем (и для всех, с которыми могут встретиться школьники) эта сила окажется пропорциональной отклонению от положения равновесия. Затем с помощью второго закона Ньютона нужно составить дифференциальное уравнение гармонических колебаний, которое благодаря пропорциональности «возвращающей» силы отклонению будет иметь вид (14.3). Поэтому круговой частотой колебаний будет квадратный корень из отношения коэффициента перед отклонением в формуле для «возвращающей» силы к массе тела. Рассмотрим пример.