ГЛАВА 2. ДВИЖЕНИЕ. ПУТЬ, ПЕРЕМЕЩЕНИЕ, СКОРОСТЬ. ДВИЖЕНИЕ С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ

Поэтому вопрос не в том «догонит или не догонит?» (конечно, догонит), а в чем ошибка рассуждений Зенона?

Очевидно, что неправильность рассуждений Зенона никак не связана с предполагаемой точечностью Ахиллеса и черепахи. Действительно, если бы даже тела были истинно точечными, то более быстрое догнало и обогнало бы более медленное, тогда как у Зенона не догоняет. Поэтому нужно искать опровержение на каком-то другом пути.

Действительно ли количество стадий, на которые Зенон разделил движение, бесконечно большое? Да! Сколько бы раз Ахиллес не подходил на то место, где была черепаха в начале предыдущей стадии, она всегда будет впереди. И поскольку невозможно указать номер стадии, которая будет последней перед встречей, количество таких стадий бесконечно большое¹.

А вот будет ли сумма бесконечного количества слагаемых равна бесконечности? Ведь в математике известны случаи, когда сумма бесконечного количества слагаемых конечна (такие бесконечные суммы называют в математике рядами). В школьном курсе математики рассматривается сумма геометрической прогрессии

S = 1 + q + q² + q³ + ...

(q – любое число), которая является конечной при q < 1 и равна

Поэтому давайте «честно» найдем интервалы времени, затраченные Ахиллесом на все стадии, и попробуем их просуммировать. При этом для нахождения этих интервалов будем использовать обычную связь «пройденный путь-время-скорость», которая использовалась во всех предыдущих задачах.

Итак, первая стадия длится до того момента, когда Ахиллес придет в точку, в которой черепаха была в начале движения. Так как начальное расстояние между Ахиллесом и черепахой равно. l, скорость Ахиллеса v₁, то время первой стадии есть

¹ В отличие от предыдущего примера деление движения на стадии здесь мысленное: Ахилесс и черепаха не останавливаются в конце каждой стадии.