ГЛАВА 2. ДВИЖЕНИЕ. ПУТЬ, ПЕРЕМЕЩЕНИЕ, СКОРОСТЬ. ДВИЖЕНИЕ С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ

Черепаха в этот момент окажется на расстоянии от Ахиллеса, которое и равно расстоянию между ними в начале второй стадии. Поэтому время второй стадии равно

а черепаха в этот момент окажется на расстоянии

Время, затраченное Ахиллесом и черепахой на третью стадию, равно

и так далее. Из формул (2.7)–(2.9) легко построить общее соотношение для времени n-й стадии движения Ахиллеса и черепахи

Поэтому суммарное время, затраченное телами на прохождение бесконечного количества стадий, равно

Вынося в формуле (2.11) общий множитель l / v₁ за скобку, можно привести сумму времен (2.11) к виду

Сумма в квадратных скобках представляет собой сумму геометрической прогрессии, которая при v₂ < v₁ является конечной. Это значит, что, несмотря на бесконечное количество стадий, на которое Зенон разделил движение Ахиллеса и черепахи, на их прохождение тела затрачивают конечное время. Это время и есть то время, за которое Ахиллес догоняет черепаху.