Спектральная плотность на выходе сумматора сигналов

Пре­об­ра­зо­ва­ние Фу­рье, опре­де­ля­ю­щее спек­траль­ную плот­ность за­дан­но­го сиг­на­ла, яв­ля­ет­ся ли­ней­ным пре­об­ра­зо­ва­ни­ем. Ес­ли на вход сум­ма­то­ра по­дать не­ко­то­рую со­во­куп­ность сиг­на­лов u₁(t), u₂(t), u₃(t), ..., об­ла­да­ю­щих спек­траль­ны­ми плот­но­стя­ми со­от­вет­ствен­но S₁(jω), S₂(jω), S₃(jω), ..., то взве­шен­ной сум­ме сиг­на­лов на вы­хо­де сум­ма­то­ра бу­дет со­от­вет­ство­вать спек­траль­ная плот­ность:

где a_i — про­из­воль­ные чис­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты. Для до­ка­за­тель­ства это­го утвер­жде­ния сле­ду­ет под­ста­вить сум­му сиг­на­лов в фор­му­лу для пря­мо­го пре­об­ра­зо­ва­ния Фу­рье.