4.1. Волна вероятности

Предыдущая закончилась констатацией, что мы пока не установили, что именно колеблется при движении электрона. В истории физики такое уже случалось. Когда-то при выводе уравнений электродинамики Максвелл тоже не знал, что представляют собой описываемые им колебания и волны, но уравнения оказались верны. Поэтому отложим пока вопрос о физической природе волн де Бройля и просто введем некую «электронную» волну, то есть волновую функцию . О ней мы знаем пока только одно: волновая функция должна описывать результаты опытов, доказывающих волновые свойства электронов (дифракцию и т. п.).

Рис. 4.1. Дифракционная картина при прохождении электронного пучка через металлическую фольгу

 

Видео 4.1. Дифракция электронов на поликристалле.

Представим мысленно эксперимент В.А. Фабриканта (см. разд. 3.2), в котором электроны поочередно направлялись на кристалл, играющий роль дифракционной решетки. За кристаллом помещалась фотопластинка, на которой в конце концов возникали типичные дифракционные кольца. Из классической физики известно, какие математические средства описывают такую картину: обычное сложение интерферирующих волн, интенсивности которых пропорциональны

Правда, в отличие от обычной волны электрон не делится на части: при прохождении электронов через кристалл каждый из них попадает в какую-то одну точку на фотопластинке, вызывая почернение именно здесь и нигде больше. В этом проявляются свойства электрона как частицы. Несмотря на одинаковые начальные условия, электроны, как показал опыт, попадают в разные точки. О данном конкретном электроне заранее неизвестно, в какую именно точку на пластинке он попадет. В этом проявляются его волновые свойства. Дифракционная картина возникает, когда через кристалл пройдет достаточно много таких электронов. Интенсивность почернения пластинки в данной точке пропорциональна числу попавших туда частиц, то есть вероятности попадания.

В классической же физике почернение пластинки определяется интенсивностью волны, то есть квадратом модуля волновой функции. Выходит, что величина

пропорциональна вероятности обнаружить электрон в окрестности точки  в момент времени t. Волна де Бройля — это волна вероятности! Отдельный акт взаимодействия электрона с кристаллом остается отдельным актом (электрон-частица), но результат его можно предсказать только вероятностно, статистически (электрон-волна). В этом — смысл корпускулярно-волнового дуализма. Квантовая механика создана и 1925–1927 гг. В. Гейзенбергом и Э. Шредингером; вероятностная интерпретация волновой функции дана чуть позже в работах М. Борна и школы Н. Бора.

Рис. 4.2. В. Гейзенберг сформулировал принцип неопределённостей в 1927 г.

Рис. 4.3. Э́рвин Ру́дольф Йо́зеф Алекса́ндр Шрёдингер (1887–1961)

Рис. 4.4. Макс Борн (1882–1970)

Итак, вероятность найти электрон в окрестности точки  должна быть пропорциональна

Но вероятность обнаружить электрон точно в данном месте исчезающе мала; имеет смысл говорить лишь о его попадании в малый объем окружающий эту точку. Ясно, что вероятность обнаружить там электрон пропорциональна величине объема. Поэтому для вероятности имеем

Иными словами

— это плотность вероятности найти частицу в точке с радиус-вектором .

Вероятность найти частицу в каком-то конечном объеме вычисляется с теоремы помощью сложения вероятностей, то есть интегрированием

Интегрирование в (4.2) ведется по объему (в случае одномерного движения — по отрезку).

Полная вероятность найти частицу хоть где-нибудь в пространстве должна быть равна единице. Отсюда — так называемое условие нормировки волновой функции: такой же интеграл по всему пространству равен единице, то есть

Замечание: выполнение этого условия возможно для тех задач, в которых классическая частица движется в ограниченной области пространства (финитное движение). Для инфинитных (неограниченных в пространстве) движений условие нормировки усложняется.

Наблюдаемые физические величины должны описываться действительными числами и функциями. Соответственно, мы представляли классические волны (звуковые, электромагнитные) в виде

Можно было бы воспользоваться математическим формализмом комплексных чисел, основываясь на формуле Эйлера

где

— мнимая единица. Тогда ту же волну можно было бы представить в виде действительной части выражения

где

Рис. 4.5. Леона́рд Э́йлер (1707–1783)

Начальная фаза здесь включена в комплексную амплитуду А. В применении к классическим волнам оба формализма эквивалентны, так как в конечном итоге берется только действительная часть волны. В отличие от классических волн, волна вероятности комплексна. Физические наблюдаемые величины выражаются через квадрат модуля волновой функции, так что и в квантовой механике они будут описываться действительными числами. Но комплексность волновой функции имеет глубокую связь с законом сохранения электрического заряда, так что применение комплексных чисел и функций в квантовой механике — не прихоть, а необходимость. Поверхность постоянной фазы в волне  (4.4) распространяется вдоль волнового вектора , фазовая скорость волны по-прежнему равна

так что переход к комплексным волнам не меняет привычных нам соотношений.